29.06.2020

Optimal immunity control by social distancing for the SIR epidemic model.

Modélisation Confinement/DéconfinementImmunité
Bliman PA et al
Pre-prints

Résultats principaux

Les auteurs montrent que si la stratégie de confinement total ne permet pas de diminuer le taux d'infection de l'épidémie en deçà d'une certaine valeur, ou si le temps autorisé pour contrôler l'épidémie est trop court, alors il n'existe aucune stratégie de contrôle évitant un ``overshoot''. Ils montrent également que la stratégie de contrôle permettant de minimiser cet overshoot consiste à éviter tout confinement jusqu'à une certaine date où le nombre d'infectés dépasse une valeur critique, puis appliquer la politique de confinement maximale jusqu'à la fin de la période de contrôle autorisée pour l'épidémie. En effet, en choisissant bien la date à laquelle le confinement s'opère, le nombre de personnes infectées durant le confinement diminue jusqu'à atteindre une valeur proche de 0, tandis que le nombre de susceptibles dépasse à peine la valeur d'immunité de groupe. Lorsque le confinement est levé, l'épidémie ne peut plus se propager et disparaît.
 

Que retenir ?

Le but de cet article est de démontrer l'existence, l'unicité et la valeur d'une stratégie de contrôle par confinement (diminution du taux d'infection) en temps fini d'une épidémie de type SIR, dans le but de minimiser l'``overshoot'' (le nombre d'individus contaminés au-delà du seuil d'immunité de groupe).

Niveau de preuve Indéterminé

Le modèle proposé est volontairement simpliste, et la stratégie de contrôle optimale correspond à l'intuition. Il représente cependant une première étape dans la construction de stratégies de contrôle d'épidémie. Il peut être dommage que l'optimisation proposée s'effectue à horizon de temps fixé, et non à durée de confinement fixée. De nombreuses extensions de ce problème d'optimisation peuvent être proposées (contrôle avec pénalisation du nombre d'infectés au-delà d'une valeur seuil, ou du temps passé en confinement, etc.).

Objectifs

Le but de cette étude est de déterminer un contrôle optimal d'une épidémie de type SIR par confinement, c'est-à-dire en pilotant le taux de contamination entre deux valeurs minimale (confinement total) et maximale (absence de confinement) pendant une durée de temps finie.

Méthodes

L'objectif du contrôle est de minimiser l'``overshoot'' du processus, en d'autres termes le nombre de personnes qui ont été contaminées au-delà du seuil d'immunité de groupe. En effet, au-delà de ce seuil, une épidémie ne peut pas démarrer à partir d'un petit nombre d'infectés, et la population devient immunisée à la maladie. Cependant, si le nombre d'infectés est trop grand quand ce seuil est dépassé, de nombreuses personnes supplémentaires tomberont malade avant que l'épidémie ne s'éteigne "naturellement".

Les méthodes permettant de montrer l'existence, l'unicité et la forme de la stratégie optimale de confinement sont basées sur l'analyse du système d'équations différentielles. Grâce à l'existence de quantités intégrables (préservées par la dynamique de l'épidémie), il est possible de transformer ce problème d'optimisation sur l'ensemble des fonctions de contrôle à un problème d'optimisation réel, dont la résolution est ensuite simplifiée.

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